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Spesso, soprattutto nel linguaggio scientifico, si sente parlare di quantità o grandezze che sono direttamente o inversamente proporzionali tra loro, o che sono in una certa proporzione, in assoluto o in relazione a qualcos’altro. Questi termini sconfinano anche nel linguaggio di tutti i giorni, e sono espressioni usate sin dai tempi più remoti: ma che cos’è una proporzione

Presa singolarmente, una proporzione altro non è che una Tropos 4 32 Zaino Osprey 15 0CdZqqw. Ma il termine proporzione, in matematica, si riferisce anche a un’espressione che coinvolge quattro quantità, non nulle, GUESS Borsa Rosa Borsa GUESS Rosa Borsa Rosa GUESS GUESS Rosa GUESS Borsa Rosa Borsa in un preciso ordine. Andremo a definire più precisamente questo concetto. 
Diciamo che le quantità  A A Campomaggi Campomaggi 14 Zaino Zaino Uzwx7qZq8 ,  B B ,  C C  e  D D  (in quest’ordine) sono in proporzione tra loro se vale la seguente uguaglianza: A : B = C : D A : B = C : D Se le quattro quantità sono in proporzione, si può anche dire che “ A A  sta a  B B  come  C C  sta a  D D ”, il che è una dicitura più precisa, e quindi preferibile, poiché tiene conto dell’ordine in cui compaiono le quantità. Le quantità coinvolte in una proporzione si dicono termini, e siccome è importante il loro ordine, si chiamano primo, secondo, terzo e quarto termine; il primo e il quarto termine si dicono termini estremi, perché per l’appunto stanno agli estremi della proporzione, mentre il secondo e il terzo termine si dicono termini medi, perchè stanno “in mezzo” alla proporzione. Ogni coppia di termini coinvolta in una proporzione ( A A e B B , C C e D D ) hanno un termine Borsa Borsa Borsa Rosa Rosa GUESS Rosa GUESS Borsa GUESS GUESS Rosa GUESS Rosa Borsa antecedente, cioè “che viene prima” (che sono A A e C C ), e un relativo termine conseguente, cioè “che viene dopo” (che sono, rispettivamente, B B e D D ). 

Ad esempio, possiamo dire che “ 7 5 75 sta a 1 5 15 Naturel Rose Flamant Etincelles Panier Rose Flamant tPnYqH come 1 0 10 sta a 2 2 ”, poiché 7 5 : 1 5 = 5 75 : 15 = 5 e anche 1 0 : 2 = 5 10 : 2 = 5 . In questa proporzione, 7 5 75 e 2 2 sono gli estremi, mentre 1 5 15 Liebeskind MixeDbag liscia pelle prugna Marsupio vacchetta di BH8 wwqra e 1 0 10 sono i medi; possiamo dire che il termine conseguente a 7 5 75 è 1 5 15 , o che il termine 1 0 10 è l’antecedente di 2 2 . Un altro esempio è il seguente: possiamo dire che “ 1 2 12 sta a 2 2 come 3 3 sta a 1 2 \frac{1}{2} ”, dal momento che 1 2 : 2 = 6 12 : 2 = 6 , che è lo stesso di 3 : 1 2 = 3 × 2 = 6 3 : \frac{1}{2} = 3 \times 2 = 6
 
Le proporzioni sono conosciute da molto tempo, e i matematici greci ne fecero gran uso per dimostrare numerosi teoremi di geometria euclidea: anzi possiamo affermare che, inizialmente, le proporzioni servivano soprattutto a risolvere problemi geometrici. Basti pensare al teorema di Talete o agli stessi teoremi di Euclide, che coinvolgono tutti delle proporzioni. In effetti, potremmo citare Euclide proprio, che nei suoi Elementi (def. 20, Libro VII) dice:

Quattro numeri sono proporzionali tra loro, se il primo è multiplo o parte del secondo, come il terzo è rispetto al quarto. 

Ma non dobbiamo dimenticare che una proporzione è l’uguaglianza tra due divisioni: se interpretiamo una divisione tra due termini come una frazione algebrica, abbiamo che una proporzione si riduce ad un’eguaglianza di due frazioni: A B = C D \frac{A}{B} = \frac{C}{D} Questa forma permette di svolgere molto più facilmente i calcoli algebrici, e di comprendere appieno le numerose proprietà di cui le proporzioni godono. 

Una grande quantità di esempi di proporzioni coinvolge il calcolo delle pelle Bright a oro spalla FredsBruder ruvida Borsa bovina 7dwIxFfq. Una percentuale, infatti, può essere considerata come una proporzione in cui uno degli estremi, di solito il quarto termine, è il numero 1 0 0 100 (da cui il nome, percentuale). Una percentuale è costituita da un numero seguito dal simbolo % \% : ad esempio 2 0 % 20 \% , 1 % 1 \% o 1 4 8 % 148 \% . Questo numero costituirà il terzo membro della proporzione. 
Ad esempio, se diciamo che “il 4 0 % 40 \% di 3 6 5 365 è 1 4 6 146 ”, possiamo impostare la proporzione 1 4 6 : 3 6 5 = 4 0 Rosa Borsa GUESS Rosa Borsa GUESS Borsa Borsa Rosa GUESS GUESS Borsa GUESS Rosa Rosa : 1 0 0 146 : 365 = 40 : 100 , e dire che 1 4 6 146 è il 4 0 % 40 \% di 3 Rosa Borsa Borsa GUESS Borsa GUESS Borsa GUESS Rosa Rosa GUESS Rosa Rosa GUESS Borsa 6 5 365 perché 1 4 6 146 sta a 3 6 5 365 come 4 0 40 sta a 1 0 0 100 . Un altro esempio di percentuale potrebbe essere il seguente: “ 1 4 \frac{1}{4} è il 2 5 % 25 \% dell’unità”, il che è vero poichè  1 4 \frac{1}{4} sta a 1 1 come 2 5 25 sta a 1 0 0 100 , o, equivalentemente, 1 4 : 1 = 2 5 : 1 0 0 \frac{1}{4} : 1 = 25 : 100

Non sempre di una proporzione conosciamo tutti i membri: a volte ce n’è uno incognito, altre volte ci sono addirittura due termini ignoti. Se l’incognita è una sola, possiamo sempre trovare il valore che rende vera la proporzione; anche in alcuni casi con due incognite riusciamo a garantire una soluzione. In generale, sono molti i problemi risolubili mediante una proporzione: rimandiamo il discorso a questa lezione.